対数微分法による極値

例えば$y=x^x$や多くの多項式の積や分数によって構成されているような関数の微分は対数微分法を用います。

 

 それと、同じように$y=g(x)^{f(x)}$のような一般形の極限値は対数微分法を用います。

2変数関数の極値の存在

2変数関数の極値(極大値と極小値)を求める問題は、非常にスタンダードな問題なのでしっかり習得しましょう。

 

 $f_x=0かつf_y=0$を満たすx,yの組み合わせが極値を持つ候補となります。

 

 

 しかし、あくまでも候補ですので、判別式を用いることで確認しましょう。

 

 $A=f_{xx}(x_1,y_1),B=f_{xy}(x_1,y_1),C=f_{yy}(x_1,y_1)$として、判別式$B^2-AC$の値の符号を確認します。

 

 判別式が正の場合、極値を持ちません。

 負の場合、極値を持ちます。

 さらに、0の場合は極値を持つかどうかは不明となるため、各自確認が必要となります。

接平面の方程式

接平面と聞くと難しい印象をもつ人も多くいるかと思いますが、実はそんなことは全くありません。

 

 接平面の理解のポイントは接線と関連づけることです。

 

 どちらもある点に多いて接していると言う点において、共通していますので、立式のプロセスは非常に似ています。

 

 接平面の公式は$z-z_1=f_x(x_1,y_1)(x-x_1)+f_y(x_1,y_1)(y-y_1)$

 

 接線の公式は$y-y_1=f_x(x_1)(x-x_1)$

 

 ある点から、微小分だけ移動した点を微分係数を表すことで求めた関係式こそが接平面及び、接線の公式となります。

部分積分

部分積分と聞くと、みなさんは何を連想するでしょうか。

 

 ある積で表された関数を積分する際に、部分積分が用いられます。

 

 部分積分は積の微分から導くことができます。

 

 時間があるときにでも、一度確認しておくと良いでしょう。

 

 $\int x\sin  xdx$や$\int xe^xdx$のように整関数と三角関数、整関数と指数関数の積の積分に使われることが一般的です。

 

 例外的に$\int log xdx$を高校の範囲で、$\int sin^{-1} xdx$や$\int tan^{-1} xdx$を大学の範囲を学習しますが、いずれも係数の1を積分することで部分積分を用います。

重積分の積分領域

$\displaystyle \int \int_Df(x,y)dxdy$

 

 上式のように積分領域を$D$を用いて表された状態から、具体的に表す過程で手が止まってしまう人もおられるかと思います。

 

 積分領域を直交座標を用いて表す場合は上下左右に位置している式を意識しましょう。

 

 $y=f_1(x),y=f_2(x),x=x_1,x_2$の場合、$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \int_{f_1(x)}^{f_2(x)}g(x,y)dydx$

 

 $y=y_1,y=y_2,x=f_1(y),f_2(y)$の場合、$\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} \int_{f_1(y)}^{f_2(y)}g(x,y)dxdy$

 

 例えば、積分領域が$x,y軸$に平行な長方形の場合であれば、そのような考えに容易に至るかと思いますが、積分領域が三角形の場合でも同様です。

直交座標と極座標

 みなさんは高校数学の「2次曲線」で初めて直交座標に対して極座標と言う存在を認識することと思います。

 

 ある点を直交座標を用いて表す場合、原点からどれだけ移動するかに着目します。

 

 それに対して、極座標では$x$軸とのなす角度と、原点からの距離によって点の位置を表します。

 

 以上から、ある点の位置を表す場合、直交座標は$(x,y)$、極座標は$(r, \theta)$のように表します。

分数関数の積分

 分数関数の積分を行う際は、解法プロセスのパターン化が必要です。

$\displaystyle \int \begin{equation}\dfrac{f(x)}{g(x)}\end{equation}dx$

において、$f(x)の次数\geq g(x)の次数$であるときは、$f(x)\div g(x)$として、整式の割り算を実行します。

 

 その後、$g(x)$を因数分解して、部分分数分解を実行します。もしも、因数分解できない場合は、平方完成して、$tan^{-1}\theta$の公式を利用します。