三角比の拡張

一般的な教科書では三角比の拡張というタイトルで鈍角 [tex:{\theta}] に対する$\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta$を取り扱います。 これまで学習した鋭角の場合と関連づけて考えることで、スムーズに理解が進むことでしょう。 その際に、中心が$xy$直交座…

2変数関数の連続性

2変数関数のある点における連続性について考えて見ましょう。 もし仮に$\displaystyle \lim_{x,y\to 0}f(x,y)$を求める際に、単純に$xとy$をそれぞれ0に近づけて連続性を調べたとしましょう。 その方法では、2方向からの連続性を求めたことに過ぎないので…

ロピタルの定理

ロピタルの定理は分数関数の極限値を求める際に適用される非常に便利な定理です。 一般的に、不定形となる関数に対しては変形を繰り返すことで、不定形を回避します。 一般的な変形では対応できない場合、ロピタルの定理を用います。 分子と分母をそれぞれ、…

重積分の変数変換

みなさんは重積分における変数変換をただ式の形がそれっぽいからという理由だけで行ってはいないでしょうか。 実は変数変換を行うかどうかの必要性は、積分領域の形状によります。 つまり、積分領域を直交座標を用いて積分しようとすると、式が複雑になって…

曲線の長さ

積分の有用性の一つに曲線の長さを求めることができる点が挙げられます。 多くの場合、積分は曲線や直線によって囲まれた平面の面積や、面によって囲まれた立体の体積を求める際に用いられます。 積分を使った曲線の長さの求め方のポイントは、微小な直角三…

$\sinh \theta,\cosh \theta,\tanh \theta$の加法定理

$sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$であるのに対して、$sinh (\alpha \pm \beta)=\sinh \alpha \cosh \beta \mp \cosh \alpha \sinh \beta$が成立します。 同様に$cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta …

$\sinh \theta,\cosh \theta,\tanh \theta$

$y=\sinh x$を見ると、三角関数と関連した関数のように感じる人もおられるかと思いますが、実はそんなことはありません。 $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-1}}{2}$、$\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-1}}{2}$、さらに$\tanh \theta=\dfrac{e^x+e^{-1}}{e^x-e^{-1}}$となりま…

対数微分法による極値

例えば$y=x^x$や多くの多項式の積や分数によって構成されているような関数の微分は対数微分法を用います。 それと、同じように$y=g(x)^{f(x)}$のような一般形の極限値は対数微分法を用います。

2変数関数の極値の存在

2変数関数の極値(極大値と極小値)を求める問題は、非常にスタンダードな問題なのでしっかり習得しましょう。 $f_x=0かつf_y=0$を満たすx,yの組み合わせが極値を持つ候補となります。 しかし、あくまでも候補ですので、判別式を用いることで確認しましょう…

接平面の方程式

接平面と聞くと難しい印象をもつ人も多くいるかと思いますが、実はそんなことは全くありません。 接平面の理解のポイントは接線と関連づけることです。 どちらもある点に多いて接していると言う点において、共通していますので、立式のプロセスは非常に似て…

部分積分

部分積分と聞くと、みなさんは何を連想するでしょうか。 ある積で表された関数を積分する際に、部分積分が用いられます。 部分積分は積の微分から導くことができます。 時間があるときにでも、一度確認しておくと良いでしょう。 $\int x\sin xdx$や$\int xe^…

重積分の積分領域

$\displaystyle \int \int_Df(x,y)dxdy$ 上式のように積分領域を$D$を用いて表された状態から、具体的に表す過程で手が止まってしまう人もおられるかと思います。 積分領域を直交座標を用いて表す場合は上下左右に位置している式を意識しましょう。 $y=f_1(x…

直交座標と極座標

みなさんは高校数学の「2次曲線」で初めて直交座標に対して極座標と言う存在を認識することと思います。 ある点を直交座標を用いて表す場合、原点からどれだけ移動するかに着目します。 それに対して、極座標では$x$軸とのなす角度と、原点からの距離によっ…

分数関数の積分

分数関数の積分を行う際は、解法プロセスのパターン化が必要です。 $\displaystyle \int \begin{equation}\dfrac{f(x)}{g(x)}\end{equation}dx$ において、$f(x)の次数\geq g(x)の次数$であるときは、$f(x)\div g(x)$として、整式の割り算を実行します。 そ…

固有値と固有ベクトル

皆さんは固有値と固有ベクトルの計算はできても、実際にそれらが何を意味しているのかを正しく理解しているでしょうか。難関大学の入試問題となると、表面的な理解だけでは対応できない場合が多々あります。 $\lambda A \overrightarrow{x}A$

微分方程式

微分方程式を解く上で、最も合理的な方法は解法をパターン化することです。 微分方程式の最も基本的なパターンは直接積分形です。実践の問題でこの様な解きやすい問題に遭遇することはほぼないと言ってもいいでしょう。その理由は簡単すぎて問題として成立し…

対数微分法

今回は対数微分法について説明します。この方法は通常に微分とは解法が大きく異なります。 まず、対数微分法が効果を発揮するケースは与式が$y=x^{f(x)}$で表される時です。具体的には$y=x^{\log x}$や$y=x^{\sin x}$。 両辺に$\log $をとる$\log y=\log x^{…

微分方程式の初歩

今回は、微分方程式についてお話します。 微分方程式の学習の初期の段階では、まず積分計算力が試されます。高校の数学Ⅲの内容に加えて、大学で新たに学習する三角関数の逆関数や対数の積分公式をしっかりと理解する必要があります。 微分と積分は表裏一体の…

必要条件と十分条件が成り立たないとき

命題に対して矢印がともに成立しない場合があります。 言い換えると、必要条件と十分条件ともに成り立たない状態です。 これはベン図を用いて表すならば、互いに排反の場合と、一部が被っている場合の二つのパターンが考えられます。 後者は忘れられがちなの…

固有値と固有ベクトル

固有値を求める際の最初の式から、変形を繰り返し行列式を求める固有方程式を導きます。$n$次の正方行列に対して、固有方程式はn次方程式となります。従って、固有値の個数はせいぜい$n$個であることが明らかです。ただし、例外的に重解の場合もありえますの…

連立方程式

線形代数を学習して最初に出会う衝撃に行列を用いた連立方程式の解法が挙げられます。 例えば2つの式からなる2元連立方程式は容易に解くことができますよね。3つの式からなる3元連立方程式はどうでしょうか。ハイレベルな中学生や高校生であれば時間をか…

自分のための勉強か親のための勉強か

いい結果が自分の努力によるものだと実感したときに、その努力に対してやりがいを見出すと考えられます。 その点で重要なことは、学習を学習者自身の意思で行なったという感覚を学習者がもつことです。それによって結果に対してその責任を自分に追求すること…

はじめまして

みなさんはじめまして。 私は京都市内でプロ家庭教師、塾講師、予備校講師として活動している自称「理系せんせ」です。私はこれまで多くの生徒さんの学習のお手伝いをして来ました。そんな中で様々な生徒さんがいることがわかりました。真面目な生徒さん、勉…

二次関数の判別式

二次方程式が実数解を持つかどうかを判別する際に判別式を用います。判別式$D=b^2-4ac$は二次関数のグラフである放物線が$x$軸と交わるかどうかを調べるためにも使われます。 実数解や$x$軸との共有点を求める際に解の公式を利用しますが、根号の中にある式…

学習性無力感

私たち指導者は現時点で学習者がもつ知識や能力から適切な分野と適切な難易度の課題を選択します。 学習者は解決不可能な問題を与えられ続けることで不安が高まり、しまいには普段であれば解決できるような問題ですら解こうとしなくなることがあります。この…

微分

みなさんが普段行なう微分計算は暗記によって短時間で合理的に実行することができます。本来であれば微分の定義に従って、整関数・三角関数・指数関数・対数関数の導関数つまり、微分を実行するのですが、あまりにも計算が煩雑になる恐れがあるため、公式と…

数の分類

皆さんが扱っている数の多くは実数と呼ばれるものです。それらは有理数と無理数に分類されます。有理数は一般的に整数か分数で表される数のことです。それに対して、無理数は有理数でない数のことです。一般的にはおおよそ「根号を用いて表す数」と言い換え…

対称式

$x$と$y$を入れ替えても式自体の意味が変わらない式のことを対称式と言います。この時「対称性がある」と言い、2つの文字であれば、与式を$x+y$と$xy$のみを用いて表すことができます。一般的には対称式の特徴を活かした式の変形が必須となります。ちなみに…

絶対値記号の外し方

絶対値とは数直線上の0からの距離を意味します。絶対値とは距離であるので、負の値にはなりません。数式の中に絶対値記号が含まれている時、まず行うことは外すことです。方程式であれば解の存在する範囲として、関数であれば定義域として場合分けを行います…

パーミテーションとコンビネーションと階乗

これら3つの式が一体何を表しているのか理解していますか。 パーミテーションはアルファベットで$P$と書きます。その際に2つの数字を用います。例えば5パーミテーション2は、$_5P_2$の様に書きます。この式が意味しているものは「5つの中から2つ選んで…