数の分類

皆さんが扱っている数の多くは実数と呼ばれるものです。それらは有理数無理数に分類されます。有理数は一般的に整数か分数で表される数のことです。それに対して、無理数有理数でない数のことです。一般的にはおおよそ「根号を用いて表す数」と言い換えても良いでしょう。

 

 問題などを解く際に、有理数を文字で表す必要があることが多々あります。その際、互いに素の整数を用いて分数の形で定義します。

$\dfrac{m}{n} (m,nは互いに素の整数)$

 

 では、無理数はどうでしょうか。無理数には「根号を用いて表す数」の他に$\pi$や$e$が存在します。それらを含めて、文字を使って全て表すことは困難です。

 

 皆さんは$\sqrt 2$が無理数であることを証明せよという問題を見たことはありますか。一般的な解法に背理法を用います。つまり、$\sqrt 2$が有理数であると仮定して、計算を繰り返すことで、矛盾を導くというものです。無理数であることを証明するのだから無理数を利用すれば良いと思いますが、そもそも文字を用いて表すことが難しいという問題があります。そのことを除いても背理法を用いることが合理的であることに変わりませんが。

 

 まずは、有理数は互いに素である二つの整数を用いて分数の形で表すことを忘れないでください。