微分

みなさんが普段行なう微分計算は暗記によって短時間で合理的に実行することができます。本来であれば微分の定義に従って、整関数・三角関数・指数関数・対数関数の導関数つまり、微分を実行するのですが、あまりにも計算が煩雑になる恐れがあるため、公式として暗記することが定石となっているのです。

 

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

 

 それに加えて関数の積の微分と、関数の分数の微分と、合成関数の微分微分計算の最小要素として利用することで、あらゆる形の関数の微分が可能となります。

 

積の微分 $y=f(x)g(x) y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

 

分数の微分 $y=\dfrac{f(x)}{g(x)} y'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

 

 どんなに複雑な式でもこれらの組み合わせを駆使することによって、導関数を導くことができるのです。

 

 ところが積分はその様には行きません。積分の計算は微分に比べると非常に難しいとされています。微分積分の関係は逆であることが一般に知られています。従って何を微分すればこの様な形の式になるのかに思いを馳せることが積分のコツであるという考えがあります。しかし、それらはあまり現実的であるとは言えません。例えば、複数の合成関数によって構成された式に対して、同様の処理を行うことを想像しただけで、思考が止まってしまわないでしょうか。

 

 安心していただきたいことは、みなさんが経験する数学の問題はあくまでも人間の手によって意図的に作られたものであるということである。従って、ある程度体系化された問題群の中から選択されたものに過ぎず、受験数学の定石を熟知していればいくら積分と言えどもさほど問題ないでしょう。