二次関数の判別式

二次方程式が実数解を持つかどうかを判別する際に判別式を用います。判別式$D=b^2-4ac$は二次関数のグラフである放物線が$x$軸と交わるかどうかを調べるためにも使われます。

 

 実数解や$x$軸との共有点を求める際に解の公式を利用しますが、根号の中にある式がまぎれもない判別式なのです。

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 従って、判別式が負であれば虚数となるため実数解は持ちません。判別式の値が0であれば根号の項が消えるため、解は1つ持ちます。判別式が正であれば実数解が2つ存在します。

 

 放物線は軸を中心として左右対称なグラフです。従ってx軸との共有点は軸から等距離の位置にあることは明らかです。では、この事実が式にどの様に反映されているのかというと、プラスマイナスの項の存在です。軸のx座標に対して同じ値を足し引きした2つの値が共有点のx座標であることが解の公式から読み取れます。

 

 この様に解の公式には放物線の特徴がたくさん詰まっているのです。