固有値と固有ベクトル

固有値を求める際の最初の式から、変形を繰り返し行列式を求める固有方程式を導きます。$n$次の正方行列に対して、固有方程式はn次方程式となります。従って、固有値の個数はせいぜい$n$個であることが明らかです。ただし、例外的に重解の場合もありえますので、注意が必要です。

 

 では、固有値に対する固有ベクトルの個数はどうでしょうか。基本的には1つの固有値に対して固有ベクトルの基底は1つ存在しますが、固有値が2重解であれば、固有ベクトルの基底は2個以下、つまり式によって基底の個数は変わるのです。

 

 さらに固有値固有ベクトルを求めた後の展開としては対角化を実行した後に、行列のn乗計算が一般的です。対角化は各固有空間の次元の和が行列の次数と等しい場合にのみ可能となります。次元は空間を生成する基底の数であるため、基底の定義をしっかりと理解できていないと、対角化を実行することができません。

 

 この様に線形代数はあらゆる章の話が至る所で扱われるため、中途半端な理解では学習を円滑に進めることができません。