対数微分法

今回は対数微分法について説明します。この方法は通常に微分とは解法が大きく異なります。

 

 まず、対数微分法が効果を発揮するケースは与式が$y=x^{f(x)}$で表される時です。具体的には$y=x^{\log x}$や$y=x^{\sin x}$。

 

両辺に$\log $をとる$\log y=\log x^{f(x)}$

指数を係数に下ろす$\log y=f(x)\log x$

両辺を$x$で微分$\dfrac{d}{dx}\log y=\dfrac{d}{dx}(f(x)\log x)$

$\dfrac{dy}{dx}\dfrac{d}{dy}\log y=f'(x)\log x+\dfrac{f(x)}{x}$

$y'\dfrac{1}{y}=f'(x)\log x+\dfrac{f(x)}{x}$

$y'=y\left(f'(x)\log x+\dfrac{f(x)}{x}\right)$

$y'=x^{f(x)}\left(f'(x)\log x+\dfrac{f(x)}{x}\right)$