微分方程式

微分方程式を解く上で、最も合理的な方法は解法をパターン化することです。

 

 微分方程式の最も基本的なパターンは直接積分形です。実践の問題でこの様な解きやすい問題に遭遇することはほぼないと言ってもいいでしょう。その理由は簡単すぎて問題として成立しないためでしょう。

 

 次に変数分離です。$f(y)dy=g(x)dx$という形に変形する事ができるかどうかが見分けるポイントです。両辺を$y$と$x$でそれぞれ積分します。

 

 さらに$\dfrac{dy}{dx}=f(\dfrac{y}{x})$のパターンもあります。左辺は$y'$であるのに対して右辺は$\dfrac{y}{x}$によって構成される式です。この場合$u=\dfrac{y}{x}$と置換して与えられた微分方程式を$u$と$x$を用いた式に書き換えます。

 

最後に$\dfrac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$のパターンです。