2変数関数の極値の存在

2変数関数の極値(極大値と極小値)を求める問題は、非常にスタンダードな問題なのでしっかり習得しましょう。

 

 $f_x=0かつf_y=0$を満たすx,yの組み合わせが極値を持つ候補となります。

 

 

 しかし、あくまでも候補ですので、判別式を用いることで確認しましょう。

 

 $A=f_{xx}(x_1,y_1),B=f_{xy}(x_1,y_1),C=f_{yy}(x_1,y_1)$として、判別式$B^2-AC$の値の符号を確認します。

 

 判別式が正の場合、極値を持ちません。

 負の場合、極値を持ちます。

 さらに、0の場合は極値を持つかどうかは不明となるため、各自確認が必要となります。