2変数関数の連続性

 2変数関数のある点における連続性について考えて見ましょう。

 

 もし仮に$\displaystyle \lim_{x,y\to 0}f(x,y)$を求める際に、単純に$xとy$をそれぞれ0に近づけて連続性を調べたとしましょう。

 

 その方法では、2方向からの連続性を求めたことに過ぎないのです。

 

 従って、$y=mx$としてxを0に近づけるか、$x=r\sin \theta, y=r\cos \theta$としてrを0に近づけることで連続性を検討します。

 

 もし仮に、$mや\theta$が含まれなければ、その点における$z$座標は$mや\theta$に依存することなく一定となります。

 

 そうでなければ、$z$の値は$mや\theta$に応じて変化するため、一点には定まらず、不連続となります。